Üslü İfadeler
Bu konu, matematiğin temel yapı taşlarından biri olan üslü ifadeler ve tam sayı kuvvetleri ile ilgilidir. Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle birden fazla kez çarpılmasını ifade eden bir matematiksel gösterimdir. Bu yöntemi kullanarak büyük sayıları daha kısa ve anlaşılır bir şekilde yazabiliriz.
Üslü İfade Nedir?
Bir üslü ifade, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösterir. Genel olarak şu şekilde gösterilir:
an
Burada:
- a: taban (çarpılan sayı),
- n: üs (kaç kez çarpılacağı).
Örneğin, 24 ifadesi, 2’nin kendisiyle 4 kez çarpılması anlamına gelir:
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Temel Üslü Sayı Kuralları
1. Bir Sayının 0. Kuvveti
Bir sayının sıfırıncı kuvveti her zaman 1’dir (sıfır hariç).
a0 = 1 (a ≠ 0)
Örnekler:
- 50 = 1
- 100 = 1
- (-3)0 = 1
2. Bir Sayının 1. Kuvveti
Bir sayının birinci kuvveti sayının kendisidir.
a1 = a
Örnekler:
- 71 = 7
- 151 = 15
- (-4)1 = -4
3. Çarpma Durumunda Tabanlar Aynıysa Üsler Toplanır
Eğer aynı tabanlı iki üslü ifade çarpılıyorsa, üsler toplanır.
am × an = am+n
Örnekler:
- 32 × 34 = 32+4 = 36 = 729
- 25 × 23 = 25+3 = 28 = 256
- (-2)3 × (-2)2 = (-2)3+2 = (-2)5 = -32
4. Bölme Durumunda Tabanlar Aynıysa Üsler Çıkarılır
Aynı tabanlı üslü ifadeler bölünüyorsa, üsler birbirinden çıkarılır.
am / an = am-n (a ≠ 0)
Örnekler:
- 54 / 52 = 54-2 = 52 = 25
- 105 / 103 = 105-3 = 102 = 100
- (-4)6 / (-4)3 = (-4)6-3 = (-4)3 = -64
5. Üssün Üzeri Üslü İfade İse Üsler Çarpılır
Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırsa, üsler çarpılır.
(am)n = am × n
Örnekler:
- (23)2 = 23 × 2 = 26 = 64
- (52)3 = 52 × 3 = 56 = 15625
- ((-3)4)2 = (-3)4 × 2 = (-3)8 = 6561
6. Farklı Tabanlı Üslü İfadeler
Eğer tabanlar farklıysa, bu ifadeler çarpılamaz veya bölünemez, önce tabanlar aynı hale getirilmelidir. Ancak, hesaplama yapmak için üsleri ayrı ayrı hesaplayabilirsiniz.
Örnekler:
- 23 × 32 ≠ 65
- 23 = 8, 32 = 9 ⇒ 8 × 9 = 72
Ondalık Sayıların 10’un Kuvvetleri ile Gösterimi
Bir sayıyı ondalık gösterimde yazarken, 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak bu sayıyı daha pratik hale getirebiliriz. Özellikle büyük ve küçük sayılarla çalışırken bu oldukça faydalıdır.
Örnekler:
- 1000 sayısı, 10’un üçüncü kuvvetidir:
1000 = 103 - 100000 sayısı, 10’un beşinci kuvvetidir:
100000 = 105 - 5000000 sayısı, 5 ile çarpılmış 10’un altıncı kuvvetidir:
5000000 = 5 × 106 - 0.01 sayısı, 10’un eksi ikinci kuvvetidir:
0.01 = 10-2 - 0.0001 sayısı, 10’un eksi dördüncü kuvvetidir:
0.0001 = 10-4 - 0.000006 sayısı, 6 ile çarpılmış 10’un eksi altıncı kuvvetidir:
0.000006 = 6 × 10-6
Bilimsel Gösterim
Bilimsel gösterim, çok büyük veya çok küçük sayıları yazmanın kısa bir yoludur. Bu gösterim, bir sayıyı 10’un kuvvetleri şeklinde ifade etmeyi içerir. Sayı, 1 ile 10 arasında bir çarpanla ve 10’un bir tam sayı kuvveti ile gösterilir.
Bilimsel Gösterim Formatı:
a × 10n
Burada:
- a sayısı, 1 ile 10 arasında bir reel sayıdır.
- n, 10’un kuvvetidir ve tam sayıdır.
Örnekler:
- 65000000 = 6.5 × 107
- 920000 = 9.2 × 105
- 0.00072 = 7.2 × 10-4
- 0.0000015 = 1.5 × 10-6
Bilimsel Gösterimle Sayıları Karşılaştırma
Bilimsel gösterim kullanarak sayıları karşılaştırırken, önce 10’un kuvvetlerine bakarız. Eğer 10’un kuvvetleri aynıysa, bu durumda çarpan sayıya (a) bakarız.
Örnek:
- 4.5 × 107 ile 3.2 × 108 sayıları arasında karşılaştırma yapalım:
3.2 × 108, 4.5 × 107’den büyüktür çünkü 10’un kuvveti daha büyüktür. - 5.6 × 10-3 ile 7.1 × 10-4 sayıları arasında karşılaştırma yapalım:
7.1 × 10-4, 5.6 × 10-3’ten küçüktür çünkü 10’un kuvveti daha küçüktür.