Kareköklü İfadeler
1. Tam Kare Pozitif Tam Sayılar ve Karekökleri
Bir tam kare sayı, bir tam sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen sayıdır. Bir sayının karekökü, hangi sayının karesinin bu sayıyı verdiğini gösterir. Eğer bir sayının karekökü tam sayıysa, bu sayı tam kare bir sayıdır.
Tam Kare Sayılar:
1 × 1 = 1, bu yüzden √1 = 1
2 × 2 = 4, bu yüzden √4 = 2
3 × 3 = 9, bu yüzden √9 = 3
4 × 4 = 16, bu yüzden √16 = 4
5 × 5 = 25, bu yüzden √25 = 5
10 × 10 = 100, bu yüzden √100 = 10
2. Tam Kare Olmayan Kareköklü Sayıların Aralıkları
Tam kare olmayan sayıların karekökleri, tam kare iki sayı arasında yer alır. Bu iki tam kare sayıyı bulabilmek için, karekökünü almak istediğimiz sayıya en yakın tam kare sayılar belirlenir.
Örnek:
√10, √9 = 3 ile √16 = 4 arasında yer alır. Yani 3 < √10 < 4.
√20, √16 = 4 ile √25 = 5 arasında yer alır. Yani 4 < √20 < 5.
√45, √36 = 6 ile √49 = 7 arasında yer alır. Yani 6 < √45 < 7.
3. Kareköklü İfadeleri a√b Şeklinde Yazma
Karekök içindeki sayıları asal çarpanlarına ayırarak a√b şeklinde yazabiliriz. Bu yöntem, karekökün dışına tam kare olan çarpanları çıkartmamıza olanak tanır.
Örnekler:
√50: Sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: 50 = 25 × 2. Bu durumda √50 = 5√2.
√72: Sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 36 × 2. Bu durumda √72 = 6√2.
√180: Sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: 180 = 36 × 5. Bu durumda √180 = 6√5.
4. Katsayıyı Kök İçine Alma
Bir kareköklü ifade a√b şeklinde verildiğinde, katsayıyı kök içine alabiliriz. Katsayının karesi alınarak kök içine dahil edilir.
Örnekler:
3√2 ifadesini kök içine almak için 3^2 = 9. Dolayısıyla 3√2 = √18 olur.
4√3 ifadesini kök içine almak için 4^2 = 16. Dolayısıyla 4√3 = √48 olur.
2√5 ifadesini kök içine almak için 2^2 = 4. Dolayısıyla 2√5 = √20 olur.
5. Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme
Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri yapılırken, aynı kök içindeki sayılar birbiriyle çarpılır ya da bölünür.
Çarpma Örnekleri:
√3 × √12 = √36 = 6
√5 × √20 = √100 = 10
Bölme Örnekleri:
√50 ÷ √2 = √25 = 5
√72 ÷ √2 = √36 = 6
6. Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılabilmesi için, kök içindeki sayılar aynı olmalıdır. Eğer kök içleri farklıysa, önce sadeleştirme yapılır.
Örnekler:
2√3 + 5√3 = 7√3
6√5 - 2√5 = 4√5
3√12 - √3: Önce √12 = 2√3 olarak sadeleştirilir. Sonra 3√12 = 6√3 olur. 6√3 - √3 = 5√3
7. Kareköklü Bir İfade ile Çarpıldığında Doğal Sayı Yapan Çarpanlar
Bir kareköklü sayının kendisiyle ya da uygun bir çarpanla çarpılması sonucu, sonuç bir doğal sayı olabilir.
Örnekler:
√7 × √7 = 7
√5 × √5 = 5
√3 × √12 = √36 = 6
8. Ondalık İfadelerin Kareköklü Karşılıkları
Ondalık sayıların karekökünü alırken, tam kare olan ondalık sayılar bulunarak hesaplama yapılır.
Örnekler:
√0.25 = 0.5, çünkü 0.5 × 0.5 = 0.25
√1.44 = 1.2, çünkü 1.2 × 1.2 = 1.44
√2.25 = 1.5, çünkü 1.5 × 1.5 = 2.25
9. Gerçek Sayılar, Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
Gerçek sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıları içerir. Rasyonel sayılar, bir kesir şeklinde ifade edilebilen sayılardır. İrrasyonel sayılar ise, kesir olarak yazılamayan ve ondalık açılımı sonsuz olan sayılardır.
Örnekler:
√4 = 2, rasyonel bir sayıdır çünkü tam sayı olarak ifade edilebilir.
√2, irrasyoneldir çünkü kesirli bir sayı olarak ifade edilemez. √2’nin ondalık açılımı 1.414213... şeklinde sonsuz devam eder.