Fibonacci Dizisi bir sayı dizisidir:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Bir sonraki sayı, kendisinden önceki iki sayının toplanmasıyla bulunur:
- 2, kendisinden önceki iki sayının (1+1) toplanmasıyla bulunur,
- 3, kendisinden önceki iki sayının (1+2) toplanmasıyla bulunur,
- 5 (2+3),
- ve benzeri!
Örnek: Yukarıdaki dizideki bir sonraki sayı 21+34 = 55
Bu kadar basit!
İşte daha uzun bir liste:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.144.233.377.610.987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 1 21393, 196418, 317811, 514229, …
Sonraki birkaç sayıyı bulabilir misin?
Fibonacci Spirali
Bu genişliklerde kareler oluşturduğumuzda güzel bir spiral elde ederiz:
Karelerin nasıl düzgün bir şekilde birbirine uyduğunu görüyor musunuz?
Örneğin 5 ve 8 13 eder, 8 ve 13 21 yapar, vb.
Kural
Fibonacci Dizisi bir “Kural” olarak yazılabilir
İlk olarak terimler 0’dan itibaren şu şekilde numaralandırılır:
| n = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | … |
| x n = | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | … |
Yani 6 numaralı terime x 6 (8’e eşit) denir .
| Örnek: 8. terim, 7. terim artı 6. terimdir: x 8 = x 7 + x 6 |  |
Böylece kuralı yazabiliriz:
Kural: x n = x n−1 + x n−2
Neresi:
- x n terim numarası “n”dir
- x n−1 önceki terimdir (n−1)
- x n−2 ondan önceki terimdir (n−2)
Örnek: 9. terim şu şekilde hesaplanır:
x 9= x 9−1 + x 9−2
= x 8 + x 7
= 21 + 13
= 34
Altın Oran
Herhangi iki ardışık (ardışık) Fibonacci Sayısı aldığımızda bunların oranı birbirine çok yakındır. Altın Oran” φ ” yaklaşık olarak 1,618034’tür…
Aslında Fibonacci Sayıları çifti ne kadar büyük olursa, yaklaşım da o kadar yakın olur. Birkaçını deneyelim:
| A | B | B / A | |
| 2 | 3 | 1,5 | |
| 3 | 5 | 1,666666666… | |
| 5 | 8 | 1,6 | |
| 8 | 13 | 1.625 | |
| … | … | … | |
| 144 | 233 | 1,618055556… | |
| 233 | 377 | 1,618025751… | |
| … | … | … |
2 ve 3 ile başlamamıza gerek yok , burada rastgele 192 ve 16’yı seçtim (ve 192, 16.208.224.432.656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984, 19392, 31376, .. sırasını aldım ). . ):
| A | B | B / A | |
|---|---|---|---|
| 192 | 16 | 0,08333333… | |
| 16 | 208 | 13 | |
| 208 | 224 | 1,07692308… | |
| 224 | 432 | 1,92857143… | |
| … | … | … | |
| 7408 | 11984 | 1,61771058… | |
| 11984 | 19392 | 1,61815754… | |
| … | … | … |
İyi değerlere ulaşmak daha uzun zaman alır ancak bu, bunu yalnızca Fibonacci Dizisinin yapamayacağını gösteriyor!
Fibonacci Sayılarını Hesaplamak İçin Altın Oranı Kullanmak
Daha da şaşırtıcı olanı, Altın Oranı kullanarak herhangi bir Fibonacci Sayısını hesaplayabilmemizdir :
Cevap , önceki iki terimin toplamına tam olarak eşit olan bir tam sayı olarak çıkıyor.
Örnek: x 6
Bunun üzerine hesap makinesi kullandığımda (sadece Altın Oranı 6 basamağa girdiğimde) 8,00000033 cevabını aldım , daha doğru bir hesaplama 8’e yakın olurdu.
N=12’yi deneyin ve ne elde ettiğinizi görün.
Önceki Fibonacci Sayısını Altın Oranla çarpıp yuvarlayarak da bir Fibonacci Sayısı hesaplayabilirsiniz (1’in üzerindeki sayılar için işe yarar):
Örnek: 8’den sonraki sırada ne var?
8 çarpı φ olacaktır:
8φ = 8 × 1,618034…
= 12,94427…
= 13 (yuvarlak)
Bazı İlginç Şeyler
Garip bir gerçek:
Sıra çift, tek , tek , çift, tek , tek , çift, tek , tek , … şeklinde gider:
| 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | … |
Neden?
Çünkü iki tek sayının toplanması bir çift sayı üretir, ancak çift ve tek sayıların eklenmesi (herhangi bir sırayla) tek bir sayı üretir.
Lucas Sayıları
Diziye 2 ve 1 ile başlayarak “Lucas Sayılarını” elde ederiz. Güçlere gittikçe yaklaşıyorlar (üslü sayılar) Altın Oranın:
| Lucas Numarası | N | φ n |
|---|---|---|
| 2 | 0 | 1.0000… |
| 1 | 1 | 1,6180… |
| 3 | 2 | 2,6180… |
| 4 | 3 | 4,2361… |
| 7 | 4 | 6,8541… |
| 11 | 5 | 11,0902… |
| 18 | 6 | 17,9443… |
| 29 | 7 | 29,0344… |
| 47 | 8 | 46,9787… |
| 76 | 9 | 76,0132… |
| 123 | 10 | 122,9919… |
| 199 | 11 | 199.0050… |
| … | … | … |
Örneğin, 15. Lucas Sayısı yaklaşık olarak φ 15 = 1364,0007…’dir, yani tam olarak 1364’tür . Kendin dene!
İşte yine Fibonacci dizisi:
| n = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | … |
| x n = | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | … |
İlginç bir model var:
- x 3 = 2 sayısına bakın . Her 3’üncü sayı 2’nin katıdır (2, 8, 34.144.610, …)
- x 4 = 3 sayısına bakın . Her 4’üncü sayı 3’ün katıdır (3, 21.144, …)
- x 5 = 5 sayısına bakın . Her 5’inci sayı 5’in katıdır (5, 55.610, …)
Ve böyle devam eder (her n’inci sayı, x n’nin katıdır ).
1/89 = 0,011235955056179775…
İlk birkaç rakamın (0, 1, 1, 2, 3, 5) Fibonacci dizisi olduğuna dikkat edin.
Bir bakıma , çok basamaklı sayılar (13, 21, vb.) dışında hepsi örtüşüyor , şöyle:
| 0,0 |
| 0,01 |
| 0,001 |
| 0,0002 |
| 0,00003 |
| 0,000005 |
| 0,0000008 |
| 0,00000013 |
| 0,000000021 |
| … vesaire … |
| 0,011235955056179775… = 1/89 |
Sıfırın Altındaki Terimler
Sıralama sıfırın altında da şu şekilde çalışır:
| n = | … | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| x n = | … | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | … |
(Her sayının, kendisinden önceki iki sayıyı toplayarak bulunduğunu kendinize kanıtlayın!)
Aslında sıfırın altındaki dizi sıfırın üstündeki diziyle aynı sayılara sahiptir, tek fark bunların +-+- … düzeni izlemesidir. Bu şekilde yazılabilir:
x −n = (−1) n+1 x n
Bu, “−n” teriminin (−1) n+1 çarpı “n” terimine eşit olduğunu ve (−1) n+1 değerinin tam olarak doğru +1, −1, +1, −1 olduğunu söyler. … model.