Çarpanlar ve Katlar

1. Pozitif Tam Sayıların Çarpanları

Tanım: Bir sayının çarpanları, o sayıyı tam bölen pozitif tam sayılardır. Yani bir tam sayıyı iki tam sayının çarpımı olarak yazabileceğimiz sayılardır. Bu sayıların hepsi pozitif olmak zorundadır.

Örneğin, 12 sayısının çarpanlarını bulmak için 12’yi tam bölen tüm sayıları buluruz:

• 12 ÷ 1 = 12 → (1 ve 12)
• 12 ÷ 2 = 6 → (2 ve 6)
• 12 ÷ 3 = 4 → (3 ve 4)

12 sayısının çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir.

Bir başka örnek: 20 sayısının çarpanlarını bulalım:

• 20 ÷ 1 = 20 → (1 ve 20)
• 20 ÷ 2 = 10 → (2 ve 10)
• 20 ÷ 4 = 5 → (4 ve 5)

20 sayısının çarpanları: 1, 2, 4, 5, 10, 20’dir.

2. Pozitif Tam Sayıların Asal Çarpanları ve Üslü İfade ile Gösterimi

Bir pozitif tam sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmak anlamına gelir. Asal çarpanlar, sadece 1 ve kendisi ile bölünebilen asal sayılardır.

Örnek: 60 sayısının asal çarpanlarını bulalım:

• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 asal bir sayı olduğu için işlem burada sona erer.

60 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali: 60 = 2² × 3 × 5 olarak yazılabilir.

Bir başka örnek: 45 sayısının asal çarpanlarını bulalım:

• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 asal bir sayıdır.

45 = 3² × 5 şeklinde yazılabilir.

3. En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne EBOB denir. EBOB’u bulmak için her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırırız ve ortak olan asal çarpanları buluruz. Daha sonra bu ortak çarpanların en küçük üslerini alıp çarparız.

Örnek: 36 ve 48 sayılarının EBOB’unu bulalım:

• 36’nın asal çarpanları: 36 = 2² × 3²
• 48’in asal çarpanları: 48 = 2⁴ × 3

Ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür. Bu çarpanların en küçük üsleri 2² ve 3’tür.

EBOB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Başka bir örnek: 18 ve 24 sayılarının EBOB’unu bulalım:

• 18’in asal çarpanları: 18 = 2 × 3²
• 24’ün asal çarpanları: 24 = 2³ × 3

Ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür. Bu çarpanların en küçük üsleri 2¹ ve 3¹’dir.

EBOB = 2 × 3 = 6

4. En Küçük Ortak Kat (EKOK)

Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak katlarından en küçüğüne EKOK denir. EKOK, sayılar asal çarpanlarına ayrılarak bulunur ve asal çarpanların en büyük üsleri alınarak çarpılır.

Örnek: 36 ve 48 sayılarının EKOK’unu bulalım:

• 36’nın asal çarpanları: 36 = 2² × 3²
• 48’in asal çarpanları: 48 = 2⁴ × 3

Bu çarpanların en büyük üsleri 2⁴ ve 3²’dir.

EKOK = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

Bir başka örnek: 18 ve 24 sayılarının EKOK’unu bulalım:

• 18’in asal çarpanları: 18 = 2 × 3²
• 24’ün asal çarpanları: 24 = 2³ × 3

Asal çarpanların en büyük üsleri 2³ ve 3²’dir.

EKOK = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

5. İki Sayının Aralarında Asal Olup Olmadığını Belirleme

Tanım: İki sayının sadece 1 ortak böleni varsa, bu sayılar aralarında asaldır. Yani bu iki sayı EBOB’u 1 olan sayılardır.

Örnek: 8 ve 15 sayılarının aralarında asal olup olmadığını kontrol edelim:

• 8’in asal çarpanları: 8 = 2³
• 15’in asal çarpanları: 15 = 3 × 5

Bu iki sayının ortak çarpanı yoktur, dolayısıyla aralarında asaldırlar.

Bir başka örnek: 9 ve 28 sayılarının aralarında asal olup olmadığını kontrol edelim:

• 9’un asal çarpanları: 9 = 3²
• 28’in asal çarpanları: 28 = 2² × 7

Bu iki sayının da ortak çarpanı yoktur, dolayısıyla aralarında asaldırlar.

Örnek Problemler ve Çözümleri

Soru 1: 24 ve 36 sayılarının EBOB’unu bulun.

• 24 = 2³ × 3
• 36 = 2² × 3²
• Ortak asal çarpanlar: 2² ve 3

Çözüm: EBOB = 2² × 3 = 12

Soru 2: 20 ve 30 sayılarının EKOK’unu bulun.

• 20 = 2² × 5
• 30 = 2 × 3 × 5
• En büyük üsler: 2², 3 ve 5

Çözüm: EKOK = 2² × 3 × 5 = 60

Soru 3: 14 ve 25 sayıları aralarında asal mıdır?

• 14 = 2 × 7
• 25 = 5²

Ortak asal çarpan yoktur, dolayısıyla bu sayılar aralarında asaldır.

Sonuç

Bu konular, matematikte sayıların bölünebilirliği, çarpanları ve sayılar arasındaki ilişkileri anlamamıza yardımcı olur. EBOB ve EKOK, özellikle kesirlerle yapılan işlemlerde, ortak değerlerin bulunmasında ve problemlerin çözümünde sıkça kullanılır. Aralarında asal sayılar ise, iki sayının birbiriyle olan ilişkisinin en temel formunu anlamamıza olanak sağlar.