Rasyonel Sayılarla İşlemler
Rasyonel sayı: a/b biçiminde, payı (numeratör) tam sayı ve paydası (denominatör) sıfırdan farklı tam sayı olan sayılardır. Rasyonel sayılar, kesirli sayılar olarak da bilinir. Örneğin, 3/4, -2/5, 7/1 gibi sayılar rasyonel sayılardır.
Rasyonel sayılarla yapılan işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme olmak üzere dört ana başlık altında incelenir. Ayrıca rasyonel sayıların kare ve küpleri gibi üst işlemleri de vardır.
1. Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Toplama İşlemi:
Rasyonel sayılarla toplama işlemi yapılırken, paydaların eşitlenmesi gerekir. Paydalar eşitlendiğinde, paylar toplanarak sonuca ulaşılır.
- Paydalar eşitlenir.
- Paylar toplanır.
- Elde edilen kesir sadeleştirilir (mümkünse).
Örnek 1:
2/3 + 5/6
Çözüm:
Paydaları eşitleyelim. Paydaların ortak katı 6’dır.
2/3 = 4/6, 5/6 zaten paydası 6
Payları toplayalım:
4/6 + 5/6 = 9/6
Sonucu sadeleştirirsek:
9/6 = 3/2
Örnek 2:
7/8 + 5/12
Çözüm:
Paydaları eşitleyelim. Paydaların ortak katı 24’tür.
7/8 = 21/24, 5/12 = 10/24
Payları toplayalım:
21/24 + 10/24 = 31/24
Sonuç:
31/24 (Bu haliyle birim kesir olduğu için sadeleşmez.)
Çıkarma İşlemi:
Toplama işlemiyle aynı adımlarla yapılır. Ancak paylar birbirinden çıkarılır.
- Paydalar eşitlenir.
- Paylar çıkarılır.
- Kesir sadeleştirilir (mümkünse).
Örnek 3:
9/4 – 3/2
Çözüm:
Paydaları eşitleyelim. Paydaların ortak katı 4’tür.
3/2 = 6/4
Şimdi çıkaralım:
9/4 – 6/4 = 3/4
Sonuç:
3/4
Örnek 4:
7/9 – 4/3
Çözüm:
Paydaları eşitleyelim. Paydaların ortak katı 9’dur.
4/3 = 12/9
Şimdi çıkaralım:
7/9 – 12/9 = -5/9
Sonuç negatif bir rasyonel sayıdır:
-5/9
Uygulama Problemi:
Bir sınıfın 3/5’i kız, 1/4’ü erkek öğrenci. Geriye kalan öğrenciler sınıfa yeni gelenlerdir. Sınıfın ne kadarı yeni öğrencidir?
Çözüm:
Toplam sınıfın oranı 1 olduğu için, önce kullanılan kısmı bulalım:
3/5 + 1/4
Paydaları eşitleyelim:
3/5 = 12/20, 1/4 = 5/20
Toplayalım:
12/20 + 5/20 = 17/20
Geriye kalan kısmı bulalım:
1 – 17/20 = 3/20
Sonuç: Sınıfın 3/20’si yeni öğrencilerden oluşmaktadır.
2. Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri
Çarpma İşlemi:
Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır.
- Paylar çarpılır.
- Paydalar çarpılır.
- Kesir sadeleştirilir (mümkünse).
Örnek 5:
3/7 × 2/5
Çözüm:
Payları çarpalım:
3 × 2 = 6
Paydaları çarpalım:
7 × 5 = 35
Sonuç:
6/35
Bu haliyle sadeleşmez.
Örnek 6:
8/15 × 5/12
Çözüm:
Payları çarpalım:
8 × 5 = 40
Paydaları çarpalım:
15 × 12 = 180
Şimdi sadeleştirelim:
40/180 = 2/9
Bölme İşlemi:
Rasyonel sayılar bölünürken ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
- İkinci kesir ters çevrilir.
- Çarpma işlemi yapılır.
- Sonuç sadeleştirilir (mümkünse).
Örnek 7:
7/8 ÷ 3/4
Çözüm:
İkinci kesiri ters çevirelim:
3/4 = 4/3
Şimdi çarpalım:
7/8 × 4/3 = 28/24
Sadeleştirirsek:
28/24 = 7/6
Örnek 8:
5/9 ÷ 2/3
Çözüm:
İkinci kesiri ters çevirelim:
2/3 = 3/2
Şimdi çarpalım:
5/9 × 3/2 = 15/18
Sadeleştirilmiş hali:
15/18 = 5/6
3. Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler
Çok adımlı işlemler, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin bir arada kullanıldığı ifadelerdir.
Örnek 9:
(5/6 + 2/3) ÷ 4/5
Çözüm:
Öncelikle parantez içindeki işlemi yapalım. Paydaları eşitleyelim:
2/3 = 4/6
Toplayalım:
5/6 + 4/6 = 9/6 = 3/2
Şimdi bölme işlemi yapalım. İkinci kesiri ters çevirelim:
3/2 ÷ 4/5 = 3/2 × 5/4 = 15/8
Sonuç:
15/8
4. Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri
Kare Alma:
Bir rasyonel sayının karesi, sayının kendisiyle çarpılmasıdır.
Örnek 10:
(4/5)2
Çözüm:
4/5 × 4/5 = 16/25
Küp Alma:
Bir rasyonel sayının küpü, sayının kendisiyle üç kez çarpılmasıdır.
Örnek 11:
(2/3)3
Çözüm:
2/3 × 2/3 × 2/3 = 8/27
5. Rasyonel Sayılarla Problemler
Uygulama Problemi 1:
Bir çiftçi tarlasının 3/5’ini buğday, 1/4’ünü mısır ekimi için kullanıyor. Geriye kalan kısım sebze için ayrılmıştır. Sebze için ayrılan alan ne kadardır?
Çözüm:
Önce kullanılan kısmı toplayalım:
3/5 + 1/4
Paydaları eşitleyelim:
3/5 = 12/20, 1/4 = 5/20
Toplayalım:
12/20 + 5/20 = 17/20
Geriye kalan kısım:
1 – 17/20 = 3/20
Sonuç: Çiftçi tarlasının 3/20’sini sebze için ayırmıştır.
Uygulama Problemi 2:
Bir yolculuk sırasında Ali, yolun 2/7’sini otobüsle, 3/5’ini trenle gitmiştir. Geriye kalan mesafeyi yürüyerek tamamlamıştır. Ali’nin yürüdüğü mesafe ne kadardır?
Çözüm:
Önce otobüs ve trenle gidilen mesafeyi toplayalım:
2/7 + 3/5
Paydaları eşitleyelim:
2/7 = 10/35, 3/5 = 21/35
Toplayalım:
10/35 + 21/35 = 31/35
Geriye kalan mesafe:
1 – 31/35 = 4/35
Sonuç: Ali yolun 4/35’ini yürüyerek gitmiştir.