Rasyonel Sayılar
1. Rasyonel Sayılar Nedir?
Rasyonel sayılar, iki tam sayının bölümü şeklinde ifade edilen sayılardır. Genel olarak a/b formunda yazılırlar ve burada:
- a: Pay (bir tam sayı)
- b: Payda (sıfırdan farklı bir tam sayı, b ≠ 0)
Örneğin, 3/4, -5/2, 7/1 birer rasyonel sayıdır.
Her tam sayı da bir rasyonel sayı olarak kabul edilir, çünkü her tam sayı, paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabilir. Yani:
- 3 = 3/1
- -7 = -7/1
- 0 = 0/1
Örnekler:
- 2/3: Pozitif bir rasyonel sayı.
- -4/5: Negatif bir rasyonel sayı.
- 9/1: Bir tam sayı aynı zamanda rasyonel bir sayıdır.
- 0 = 0/5: 0 da bir rasyonel sayıdır çünkü herhangi bir sayı ile bölünmesi 0’dır.
2. Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme
Rasyonel sayılar sayı doğrusunda tam sayılar arasındaki kesirli noktalara karşılık gelir. Bu sayıları doğru bir şekilde yerleştirmek için sayıyı payı paydaya bölerek ondalık hale getiririz. Sonra bu sayıyı, sayı doğrusunda tam sayılar arasında doğru bir yere yerleştiririz.
Örnek:
3/4 = 0.75
Sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında bir noktada yer alır ve bu nokta 0.75’e denk gelir. Yani:
0 → 0.25 → 0.5 → 0.75 → 1
Aynı şekilde negatif rasyonel sayılar da sayı doğrusunda gösterilebilir.
Örnek:
-1/2 = -0.5, sayı doğrusunda -1 ile 0 arasında bir yerde yer alır.
3. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi
Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirmek için payı paydaya böleriz. Bazı rasyonel sayılar devirli ondalık gösterime, bazıları ise devirsiz ondalık gösterime sahiptir.
Devirsiz Ondalık Gösterimler:
Bölme işlemi sonunda kalan sıfır olduğunda, devirsiz bir ondalık gösterim elde ederiz.
Örnekler:
- 1/4 = 0.25
- 5/2 = 2.5
- -7/10 = -0.7
Devirli Ondalık Gösterimler:
Eğer bölme işlemi sonucu tekrarlayan bir dizi sayı oluşuyorsa, bu bir devirli ondalık gösterimdir. Bu tür gösterimlerde, tekrarlayan kısım bir çember içine alınarak gösterilir.
Örnekler:
- 1/3 = 0.̅3
- 7/6 = 1.1̅6
- 2/9 = 0.̅2
4. Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayı Olarak İfade Etme
Devirli ondalık gösterimleri tekrar rasyonel sayıya çevirmek için belirli bir adım sırası izlenir. Şimdi bu işlemi bir örnekle açıklayalım.
Örnek:
0.̅3‘ü rasyonel bir sayı olarak ifade edelim.
- x = 0.̅3
- 10x = 3.̅3 (Ondalık kısmın kayması için 10 ile çarpıyoruz.)
- 10x – x = 3.̅3 – 0.̅3 → 9x = 3
- x = 3/9 = 1/3
Sonuç olarak, 0.̅3 = 1/3.
Bir Başka Örnek:
0.1̅6‘yı rasyonel sayıya çevirelim:
- x = 0.1̅6
- 100x = 16.̅6 (Ondalık kısmın tamamını kapatmak için 100 ile çarpıyoruz.)
- 100x – 10x = 16.̅6 – 1.̅6 → 90x = 15
- x = 15/90 = 1/6
Sonuç olarak, 0.1̅6 = 1/6.
5. Rasyonel Sayıları Sıralama ve Karşılaştırma
Rasyonel sayıları sıralarken, genellikle ortak payda bulma yöntemi kullanılır. Bu yöntemle paydaları eşitleyerek, rasyonel sayıları karşılaştırmak daha kolay hale gelir. Paydaları eşit olan kesirlerde, payı büyük olan kesir daha büyüktür.
Örnek:
2/3 ve 4/5‘i karşılaştıralım.
- İlk olarak paydaları eşit hale getirelim. 2/3 = 10/15 ve 4/5 = 12/15.
- Şimdi karşılaştıralım: 10/15 < 12/15
Yani, 4/5 daha büyüktür.
Ondalık Gösterimle Karşılaştırma:
Bir başka yöntem ise rasyonel sayıları ondalık gösterimlerine çevirip karşılaştırmaktır.
Örnek:
7/8 ve 3/4‘ü karşılaştıralım.
- 7/8 = 0.875
- 3/4 = 0.75
Dolayısıyla, 7/8 daha büyüktür.
6. Rasyonel Sayılarla İlgili Örnek Sorular
Soru 1:
Aşağıdaki rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterin: 1/2, -3/4, 5/3.
Çözüm:
- 1/2 = 0.5, 0 ile 1 arasında yer alır.
- -3/4 = -0.75, -1 ile 0 arasında yer alır.
- 5/3 ≈ 1.67, 1 ile 2 arasında yer alır.
Soru 2:
2/3 ve 7/9‘u karşılaştırın.
Çözüm:
- Ortak payda bularak karşılaştıralım: 2/3 = 6/9 ve 7/9.
- 6/9 < 7/9
Sonuç olarak, 7/9 daha büyüktür.
Soru 3:
0.̅4‘ü rasyonel bir sayı olarak ifade edin.
Çözüm:
- x = 0.̅4
- 10x = 4.̅4
- 10x – x = 4.̅4 – 0.̅4 → 9x = 4
- x = 4/9
Sonuç olarak, 0.̅4 = 4/9.