Eşitlik ve Denklem
1. Eşitliğin Korunumu İlkesi
Eşitliğin korunumu ilkesi, bir denklemde denklemin her iki tarafına da aynı işlemi yaptığınızda eşitliğin bozulmayacağını ifade eder. Bu ilke matematiksel işlemler yaparken, denklemleri çözerken ve bilinmeyen bir değeri bulurken kullanılır. Eşitliğin iki tarafı, terazi gibi düşünülebilir. Terazinin dengesi bozulmadığı sürece denklemin çözümünü doğru buluruz.
Eşitliğin Korunumu İlkesinin Temel İşlemleri:
- Toplama ve Çıkarma: Denklemin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz.
- Çarpma ve Bölme: Denklemin her iki tarafını aynı sayıya (sıfır hariç) bölebilir veya çarpabilirsiniz.
Örnek 1:
2x + 3 = 11
Bu denklemi çözmek için eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak bilinmeyeni yalnız bırakmamız gerekiyor.
1. Adım: Sabit terimi (3) denklemin sağ tarafına taşıyalım. Bu işlemi yapabilmek için 3’ü denklemin her iki tarafından çıkarırız:
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8
2. Adım: Bilinmeyen x‘i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2’ye bölelim:
2x / 2 = 8 / 2
x = 4
Örnek 2:
4x - 7 = 9
1. Adım: Sabit terimi denklemin sağ tarafına taşıyalım:
4x = 9 + 7
4x = 16
2. Adım: Bilinmeyen x‘i yalnız bırakmak için her iki tarafı 4’e bölelim:
x = 16 / 4
x = 4
2. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemi Tanıma
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, bilinmeyenin en büyük derecesinin 1 olduğu ve genellikle x, y gibi harflerle gösterildiği denklemlerdir. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin genel formu aşağıdaki gibidir:
ax + b = 0
Bu formülde:
a: Bilinmeyenin (örneğinx) katsayısıdır.x: Bilinmeyen değişkendir.b: Sabit terimdir.
Örnek Denklemler:
1. 2x - 5 = 9
2. 3x + 2 = 14
3. 7x - 8 = 0
3. Gerçek Hayat Durumlarına Uygun Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kurma
Günlük hayatta karşımıza çıkan problemler, çoğunlukla birinci dereceden denklemlerle ifade edilebilir. Problemi çözerken önce durumu inceleyip, verilen bilgileri kullanarak bir denklem oluşturmalıyız.
Örnek 1:
Durum: Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısından 5 fazladır. Sınıfta toplam 35 öğrenci varsa, kız ve erkek öğrencilerin sayısını bulun.
Çözüm:
Erkek öğrencilerin sayısını x olarak alalım. Kız öğrencilerin sayısı ise x + 5 olur. Toplam öğrenci sayısı:
x + (x + 5) = 35
Denklemi çözelim:
2x + 5 = 35
2x = 35 - 5
2x = 30
x = 30 / 2
x = 15
Erkek öğrencilerin sayısı 15, kız öğrencilerin sayısı ise 15 + 5 = 20 olur.
Örnek 2:
Durum: Bir çiftlikte tavuk ve koyunlar vardır. Toplam 18 baş hayvan ve toplam 50 bacak bulunmaktadır. Tavukların sayısını bulun.
Çözüm:
Tavukların sayısını x olarak alalım. Koyunların sayısı: 18 - x.
Tavukların bacak sayısı: 2x
Koyunların bacak sayısı: 4(18 - x)
Toplam bacak sayısı:
2x + 4(18 - x) = 50
Bu denklemi çözelim:
2x + 72 - 4x = 50
-2x + 72 = 50
-2x = 50 - 72
-2x = -22
x = -22 / -2
x = 11
Çiftlikte 11 tavuk bulunmaktadır.
4. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemleri Çözme Yöntemleri
Birinci dereceden denklemleri çözmek için aşağıdaki adımları takip edebiliriz:
- Bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa taşıyın.
- Bilinmeyenin katsayısını 1 yapacak şekilde her iki tarafı bu katsayıya bölün.
- Denklemi sadeleştirerek sonucu bulun.
Örnek 1:
5x - 3 = 12
1. Adım: Sabit terimi karşıya taşıyalım:
5x = 12 + 3
5x = 15
2. Adım: Bilinmeyenin katsayısı olan 5’e bölelim:
x = 15 / 5
x = 3
Örnek 2:
7x + 4 = 25
1. Adım: Sabit terimi karşıya taşıyalım:
7x = 25 - 4
7x = 21
2. Adım: Bilinmeyenin katsayısı olan 7’ye bölelim:
x = 21 / 7
x = 3
5. Denklem Kurmayı Gerektiren Problemler Çözme
Örnek 1:
Problem: Bir araba kiralama şirketi, ilk gün için 50 TL ve her ek gün için 30 TL ücret almaktadır. Toplamda 170 TL ödenmişse kaç gün araç kiralanmıştır?
Çözüm:
İlk gün ücreti: 50 TL
Ek gün sayısını x olarak alalım.
Toplam ücret denklemi:
50 + 30x = 170
1. Adım: Sabit terimi çıkaralım:
30x = 170 - 50
30x = 120
2. Adım: Bilinmeyeni yalnız bırakmak için 30’a bölelim:
x = 120 / 30
x = 4
Araç 4 gün boyunca kiralanmıştır.
6. Alıştırmalar:
- Bir manav, her biri 3 TL olan 8 portakal ve her biri 5 TL olan 2 elma satmıştır. Manavın toplam kazancını bulun.
- Bir işçinin günlük ücreti 80 TL’dir. 5 gün çalıştıktan sonra 40 TL harcamıştır. Kalan parasını bulun.
- Bir otobüste 12 yolcu vardır. Yolcuların toplam ücretleri 96 TL olduğuna göre, bir yolcunun ücretini bulun.